Théorème de Desargues

A B |.| A' B'

A C |.| A' C'

on construit dA la parallèle à O B passant par A

soit L l'intersection de dA avec A' C'

soit M l'intersection de dA avec O C

soit N l'intersection de B'L avec A B

grâce au théorème de Pappus-Pascal on montre que O N || L A'

si N L || O A on applique Pappus dans le cas parallèle

sachant que O N || L A', en appliquant Pappus-Pascal on montre que M N || B' C'

sachant que O N || A C et O B || A M,
en appliquant Pappus-Pascal on montre que :
M N || B C

comme N M || B C et N M || B' C',
par transitivité du parallèlisme on obtient :
B C || B' C'

CQFD

Pour réaliser cette construction une hypothèse implicite a été occultée :

Pour pouvoir construire le point L (dA ∩ A' C'), dA et A'C' ne peuvent être parallèles
on a donc implicitement supposé que :

O B et A C ne sont pas parallèles

On a donc prouvé :

¬ Col A B C
-> Col O A A' -> Col O B B' -> Col O C C'
-> ¬ Par O B A C
-> A B |.| A' B' -> A C |.| A' C'
-> B C || B' C'

Desargues