Le cas parallèle se démontre aisément en utilisant la pseudo-transitivité du parallélogramme : ∀ A A' B B' C C', /B B' A' A / /\ / A' A C C' / => / B B' C' C /
Théorème de Desargues
Cas de droites parallèles
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∀ A B C A' B' C',
¬ Col A B C
A A' || A' B' /\ A A' || C C' A B |.| A' B' A C |.| A' C' => B C || B' C' |
Cas de droites incidentes
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Gerhard Hessenberg (1874-1925) démontre en 1905 que le théoème de Desargues se déduit de celui de Pappus-Pascal
∀ O A B C A' B' C',
¬ Col A B C
Col O A A'
Col O B B'
Col O C C'
A B |.| A' B'
A C |.| A' C'
=> B C || B' C'
Col O A A'
Col O B B'
Col O C C'
A B |.| A' B'
A C |.| A' C'
=> B C || B' C'