Pseudo-transitivité des parallélogrammes

parallelogrammes

∀ A B C D E F, /ABCD/ → /CDEF/ → /ABFE/

Utiliser la barre d'espace pour progresser

Définition du parallélogramme

Parallelogram A B C D := Parallelogram_strict A B C D \/ Parallelogram_flat A B C D

Définition du parallélogramme strict

Parallelogram_strict A B C D :=

       two_sides AC BD /\ AB // CD /\ AB ≡ CD

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Définition du parallélogramme plat

Parallelogram_flat A B C D :=

       Col A B A' /\ Col A B B' /\ AB ≡ CD /\ AD ≡ BC /\ (A ≠ C \/ B ≠ D)

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On se place dans le cas non dégénéré où : /ABCD/ et /CDEF/ sont des parallélogrammes stricts

Il en découle que :
       A ≠ B , A ≠ C , A ≠ D , B ≠ C , B ≠ D , C ≠ D et C ≠ E , C ≠ F , D ≠ E , D ≠ F , E ≠ F

Cas particulier : A = E

/ABCD/ → /CDAF/ → /ABFA/

/CDAB/ → /CDAF/ → /ABFA/ (symmétrie)

Etant donnés 3 points, il existe un unique quatrième point formant un parallélogramme avec les trois autres points, donc B = F

/CDAB/ → /CDAF/ → /ABFA/

/CDAB/ → /CDAB/ → /ABBA/ (parallélogramme trivial)

Cas général : A ≠ E

On prolonge DC par D' de sorte que DC ≡ CD'

puisque D ≠ C on a C ≠ D'

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sachant que DC // AB, on a A et B situés du même coté de CD

en utilisant le théorème "par_preserves_conga_os" : deux parallèles coupent une droite selon le même angle :

DA // BC → Bet D C D' → C ≠ D' → one_side DC AB → ADD' ≡ BCD'

on en déduit que ADD' ≡ BCD'

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de même, sachant que CD // EF on a E et F situés du même coté de CD

on en déduit que EDD' ≡ FCD'

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On en déduit que ADE ≡ BCF

Il faut cependant distinguer deux cas selon que A et E sont situés de part et d'autre de CD ou du même coté de CD

parallelogrammes parallelogrammes

Dans le premier cas on utilise le théorème "l11_22a" et dans le second cas le théorème "l11_22b"

l11_22a A D E D' B C F D' :

   two_sides DD' AE /\ two_sides CD' BF
   /\ ADD' ≡ BCD' /\ D'DE ≡ D'CF
   → ADE ≡ BCF

l11_22b A D E D' B C F D' :

   one_side DD' AE /\ one_side CD' BF
   /\ ADD' ≡ BCD' /\ D'DE ≡ D'CF
   → ADE ≡ BCF

Puisque /ABCD/ et /CDEF/ on a :

AD ≡ BC et DE ≡ CF

comme ADE ≡ BCF les triangles sont identiques

donc DAE ≡ CBF , DEA ≡ CFB et AE ≡ BF

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Cas 1 : A E F alignés

On doit alors prouver que /ABFE/ est un parallélogramme dégénéré (plat)

ou par symmétrie que /FEAB/ est un parallélogramme plat.

 

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Il faut donc prouver :

 

 

Ainsi lorsque A B E sont alignés , ABFE est bien un parallélogramme plat, donc un parallélogramme.

Cas 2 : A E F non alignés

Le théorème "pars_par_plg" affirme que si AB // EF et AE // BF alors /ABFE/

pars_par_plg : ∀ A B C D , Par_strict A B C D → Par A D B C → Parallelogramm A B C D

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Puisque AB // FE (transitivité), pour prouver /ABFE/ il suffit de montrer que AE // BF

Il suffirait de montrer si deux triangles ABC et A'B'C' sont identiques, si AB // A'B' et BC // B'C' alors AC // A'C'

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Cette assertion qui à première vue semble vraie est malheureusement fausse

Cependant notre construction impose :

  • AA' //s BB'
  • CC' //s BB'

or dans le cas cité en contre-exemple l'une des propriétés ci-dessus est fausse

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AA' //s BB' est faux

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nous allons donc montrer que :

  • si deux triangles sont identiques alors
  • AB // A'B'
  • CB // C'B'

alors AC // A'C' ou AA' //s BB' ou CC' //s BB'

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On construit M le milieu de BB' dont l'existence est assurée par le théorème "midpoint_existence"

Puis on construit A'' le symmétrique de A par rapport à M et C'' celui de C

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Comme par hypothèse on a AB // A'B' et CB // C'B', on obtient par transitivité

  • A'B' // A''B' (p4) → A'B'A'' alignés (1)
  • C'B' // C''B' (p5) → C'B'C'' alignés (2)
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La symétrie préservant les distances, on a : AB ≡ A''B' et CB ≡ C''B'

Par hypothèse les deux triangles sont identiques, donc : AB ≡ A'B' et CB ≡ C'B'

Par transitivité de la congruence on obtient :

  • A'B' ≡ A''B' (3)
  • C'B' ≡ C''B' (4)

puisque
A'B'A'' sont alignés (1) et A'B' ≡ A''B' (3)
C'B'C'' sont alignés (2) et C'B' ≡ C''B' (4)

D'après le théor¸me l7_20 :

∀ M A B , Col A M B → MA ≡ MB → A = B \/ is_midpoint M A B

on a :

  • A' = A'' \/ B' est le milieu de A'A''
  • C' = C'' \/ B' est le milieu de C'C''
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a

On doit donc distinguer 4 cas :

  1. A' = A'' et C' = C''
  2. B' est le milieu de A'A'' et B' est le milieu de C'C''
  3. A' = A'' et B' est le milieu de C'C''
  4. C' = C'' et B' est le milieu de A'A''
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b

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c

 

Cas a : A' = A'' et C' = C''

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Puisque :

  • AC // A''C'' (p3)
  • A' = A'' et C' = C''

par substitution on obtient immédiatement AC // A'C' (cqfd)

Cas b : B' est le milieu de A'A'' et B' est le milieu de C'C''

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Puisque : B' est le milieu de A'A'' et B' est le milieu de C'C'',

    A'C'A''C'' est un parallélogramme

    donc A'C' // A''C''

puisque AC // A''C'' (p3) , par transitivité du parallélisme on obtient AC // A'C' (cqfd)

Cas c : A' = A'' et B' est le milieu de C'C''

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Cas particulier : A B C alignés

Si A B C sont alignés alors A'B'C' sont alignés

l4_13 : ∀ A B C A' B' C' , Col A B C → Cong_3 A B C A' B' C' → Col A' B' C'

comme

  • ABC alignés → AB // AC
  • A'B'C' alignés → A'B' // A'C'

puisque :

  • AB // A'B' (hypothèse)
  • AB // AC
  • A'B' // A'C'

Par transitivité du parallélisme on a AC // A'C' (cqfd)

Cas c : A' = A'' et B' est le milieu de C'C''

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Cas général : A B C non alignés

Si A B C sont alignés alors A'B'C' sont alignés

si A B C non alignés :

  • M milieu de BB' (par construction)
  • M milieu de A A'' (par construction) donc M milieu de AA' (car A' = A'')

on a BB' //s AA' (cqfd)

Cas d : C' = C'' et B' est le milieu de A'A''

identique au cas c) en permutant les rôles de A et C et ceux de A' et C'

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